Solucións fase final 2005
Solución problema 1 da fase final galega 2005: Moito dezaoito
|
-
Para ser múltiplos de 18 teñen que ser múltiplos de 2 e de 9.
-
Todos son múltiplos de 2 por rematar en 8.
-
A suma das dúas primeiras cifras ten que ser múltiplo de 9, xa que a suma das dúas últimas suman nove.
-
Polo tanto escribimos de xeito ordenado tódalas posibilidades.
1818
|
6318
|
2718
|
7218
|
3618
|
8118
|
4518
|
9018
|
5418
|
9918
|
10 números en total
|
Solución problema 2 da fase final galega 2005: Moito dezaoito
|
Unha posible solición sería:
-
A altira que buscamos é as 3/4 partes da diagonal do cadrado.

-
Podemos calcular a diagonal utilizando o Teorema de Pitágoras:

-
A altura será, polo tanto:

|
Solución problema 3 da fase final galega 2005: Potencias de tres
|
Construímos unha serie de potencias de tres buscando regularidades:
Exponente
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
Potencia
|
1
|
3
|
9
|
27
|
81
|
243
|
729
|
2187
|
6561
|
...
|
-
As terminacións repítense en períodos de catro
-
Expoñente:
Exponente
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
Terminación
|
1
|
3
|
9
|
7
|
1
|
3
|
9
|
7
|
1
|
...
|
-
O expoñente 2005 corresponde a posición 2006: 2006:4= 501, Resto=2
-
2º lugar do período 502, logo rematará en 3.
|
Solución problema 4 da fase final galega 2005: Potencias de tres
|
Repetindo tres veces a zona común dos dous polígonos fórmase un triángulo.
-
Ese triángulo é a metade da área do hexágono pequeno.
-
É a sexta parte do hexágono grande.
-
Polo tanto, o hexágono grande será o triple do pequeno e o pequeno será 1/3 do grande.
O cociente pedido é 1/3
|
Solución problema 5 da fase final galega 2005: a leira de Farruco
|
Triangulando o plano da leira obtemos:

|
T1
|
Lado
|
AB
|
BF
|
AF
|
Medida no plano
|
3,9 cm
|
4,6 cm
|
3,3 cm
|
Medida real
|
7,8 m
|
9,2 m
|
6,6 m
|
|
T2
|
Lado
|
BF
|
BC
|
CF
|
Medida no plano
|
4,6 cm
|
4,2 cm
|
4,2 cm
|
Medida real
|
9,2 m
|
8,4 m
|
8,4 m
|
|
T3
|
Lado
|
CF
|
CD
|
DF
|
Medida no plano
|
4,2 cm
|
6 cm
|
6 cm
|
Medida real
|
8,4 m
|
12 m
|
12 m
|
|
T4
|
Lado
|
DF
|
DE
|
EF
|
Medida no plano
|
6 cm
|
5,4 cm
|
2,8 cm
|
Medida real
|
12 m
|
10,8 m
|
5,6 m
|
Finalmente só queda aplicar a fórmula de Herón:




-
En total pois 135,02 m2
-
O valor do solar será 135,02·900=121518 €
|