Solucións fase final 2013

Solución problema 1 da final 2013: A potencia de dous

Escribimos os números que son divisibles por dous e contamos cantos conteñen:

2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
22	24	26	28	30	32	34	36	38	40

Observamos o número de dous que aparecen na descomposición factorial de cada factor:

1	2	1	3	1	2	1	4	1	2
1	3	1	2	1	5	1	2	1	3

Todos estos suman 38, entón a solución é n=38

Solución problema 2 da fase final 2013: As pesadas

Todos os sacos son distintos porque temos 10 pesadas distintas.

Cada saco está en catro pesadas distintas:

A-B, A-C, A-D, A-E B-C, B- D, B-E C-D,C-E D-E

A suma de todas as pesadas é 516. Entón os cinco sacos pesan 516:4 = 129

A+B+C+D+E =129

A+B = 46,, D+E=57 -> C=26

Así sucesivamente: A=22, B=24, C=26, D=30, E=27

Solución problema 3 da fase final 2013: Á procura de agasallo

Analizamos as posibilidades en cada caso:

a) Número par: 1/250

b) Múltiplo de 11: 1/45

c) Número par emúltiplo de 11: 1/22

d) Múltiplo de 3 e7: 1/23

Polo tanto, teñenmáis posibilidades de conseguir agasallo se optan polo terceiro criterio: Par e múltiplo de 11

Solución problema 4 da fase de zona 2013: Os cadradiños

Asi pois :

Un lado par n dará n/2 (n-1) negras, e n/2(n+1) brancas

Un lado impar n dará n(n+1)/2 negras, e n(n-1)/2 brancas

Se temos 1000 fichas brancas, poderá haber sobre 2000 fichas en total.

Busquemos cadrados que se aproximen a esta cifra

44²= 1936

45² = 2025

46²= 2116

Solución problema 5 da fase final 2013 : A roda cadrada

Se debuxamos a traxectoria do punto A vemos que:

Polo tanto eopunto A fai media circunferencia de rádio 1 e un cuarto de circunferencia de rádio

Atraxectoria do punto A é