Solucións fase de zona 2005

Solución problema 1 da fase de zona: 29 de abril de 2005

Empezamos por continuar a serie ata ver se se produce algunha regularidade (fíxate que, necesariamente, ten que acabar por repetirse pois só hai 100 posibles terminacións de dúas cifras):

291886424832612248326122483261224832612...

Observamos que, a partir do sétimo díxito, aparece o bloque de oito cifras 24832612 que se repite periodicamente.

Desprezando as sete primeiras cifras, o problema redúcese a buscar o díxito que ocupe o lugar 1998 na sucesión: 24832612248326122483261224832612...

Como 1998=8x249+6, a cifra buscada é 6.

Solución problema 2 da fase de zona: Abandeirados

Hai:

3 monocromáticas.
12 bicromáticas
12 tricromáticas.
En total pois 27.

Solución problema 3 da fase de zona: As cestas dos ovos

As cestas de Sabela teñen, respectivamente, os seguintes números de ovos:

5, 6, 12, 14, 23 e 29

O problema redúcese a agrupar os ovos que lle queden en tres parte iguais ("Se vendo os ovos desta cesta quedaranme o dobre de ovos de galiña ca de pato") e ademais poder conseguir un tercio do número de ovos agrupando os de algunhas cestas (para que sexan todos de pato e o resto de galiña).

Podemos ir probando:

¿Que ocorre se vende os ovos da cesta que contén 5?
- Quedaríanlle un total de 84 ovos.
- Un tercio de 84 son 28, e 28 non se pode conseguir agrupando ovos de diferentes cestas.
¿Que ocorre se vende os ovos da cesta que contén 6?
- Quedaríanlle un total de 83 ovos e un tercio de 83 non é un número enteiro.
¿Que ocorre se vende os ovos da cesta que contén 12?
- Quedaríanlle un total de 77 ovos e un tercio de 77 non é un número enteiro.
¿Que ocorre se vende os ovos da cesta que contén 14?
- Quedaríanlle un total de 75 ovos.
- Un tercio de 75 son 25, e 25 non se pode conseguir agrupando ovos de diferentes cestas.
¿Que ocorre se vende os ovos da cesta que contén 23?
- Quedaríanlle un total de 66 ovos.
- Un tercio de 66 son 22, e 22 non se pode conseguir agrupando ovos de diferentes cestas.
¿Que ocorre se vende os ovos da cesta que contén 29?
- Quedaríanlle un total de 60 ovos.
- Un tercio de 60 son 20, e teriamos que 20=6+14 e 40=5+12+23.

¡Velaquí temos a solución!: Sabela ten que vender a cesta que contén 29 ovos e quedaríanlle 20 ovos de pato e 40 de galiña.

Solución problema 4 da fase de zona: O rectángulo bailarín

Simplemente desprazando o triángulo superior, obtemos un paralelogramo de base e alturas iguais a do rectángulo orixinal.
A área será, polo tanto, será tamén de 40 cm2.

Solución problema 5 da fase de zona: Aspas

Temos que "a metade" da medida da superficie da zona coloreada coincide coa área do cadrado menos a dun semicírculo de medida de radio a metade a medida da diagona.

Como o lado do cadrado mide 8 cm, a súa superficie será de 63 cm² e a súa diagonal cm.

Polo tanto a área da zona coloreada do gráfico será:

En conclusión, a área pedida será: Aaspas= 2·A=27,4690 cm².